斜边中线怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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2020-05-24 20:56:33 来源：朵拉利品网

1, 怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE，∠B=∠DCE,
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），
∴AE=BC（矩形对角线相等），
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。

因为这是直角三角形的一种属性，是可以证明的。
证法
∵a²+b²=c²，且d为斜边的中线，
∴对同一个角B，可得：
cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(a²+1/4c²-d²)/ac
化简后为：a²-1/2c²+b²=2d²
∵a²+b²=c²，∴代入后可得：1/2c²=2d²，
d1=1/2c,d2=-1/2c（不合题意，舍去）
∴d=1/2c，命题得证。
扩展资料：
其逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
参考资料来源：百度百科-直角三角形斜边中线定理
参考资料来源：百度百科-三角形中线

名词解释

直角三角形

直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。

逆命题

逆命题是指对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。