圆锥体积公式推导过程圆锥体积公式,推导过程

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2020-05-20 10:32:16 来源：朵拉利品网

1, 圆锥体积公式,推导过程

圆锥的体积
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积.
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh)，得出圆锥体积公式：
圆锥
V=1/3Sh
S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。
证明：
把圆锥沿高分成k分每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V圆柱=pi*h*r^2
所以
V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

2, 圆锥的体积推导过程

一、等效替代法：
圆柱的体积为；SH
圆锥的体积是圆柱的三分之一（这个自己做实验就可以看出来.如：拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具，在圆锥的器具里倒满水，把水往圆柱的器具里倒，倒三次才倒满.对了，这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样），即用一个圆锥盛三次水，正好等于一个等低等高圆柱的容积，用圆柱的容积替代了圆锥的体积
所以圆锥的体积V=1/3Sh
二、用微积分推导
思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积，微圆片看成高度无限小的圆柱
设圆锥的高为HM地面半径R
几何法得到，每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H
积分πr^2h
=E（π^2h）
∫（πr^2）dh=∫πR^2(1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H
=πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H)
=πR^2(H+H/3-H)
=πR^2H/3

名词解释

圆锥

圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边）

pi

圆周率是表示圆的周长与直径比值的数学常数，用希腊字母π表示。 π也等于圆形之面积与半径平方之比，近似值约等于3.14159265359，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值，在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。

体积

体积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）在三维空间中都是零体积的。